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  • Aula nº2 – Conjuntos de números inteiros

    Conjuntos de números

     

    Números naturais

    \mathbb{N} - \left \{ 1,\; 2, \: 3, \: 4, \: 5, ... \right \}

    • O conjunto de números naturais é infinito, pelo que se colocam reticências.
    • Se incluirmos o zero no conjunto de números naturais,

    \mathbb{N}_{0} - \left \{0,\: 1,\; 2, \: 3, \: 4, \: 5, ... \right \}

    Números inteiros

    \mathbb{Z} - \left \{ ...\: ,\: -5,\; -4, \: -3, \: -2, \: -1,\: 0, \: +1,\; + 2, \: +3, \: +4, \: +5, ... \right \}

    • subconjunto de números negativos

    \mathbb{Z}^{-} - \left \{ ...\: ,\: -5,\; -4, \: -3, \: -2, \: -1 \right \}

    • subconjunto de números não positivos

    \mathbb{Z}_{0}^{-} - \left \{ ...\: ,\: -5,\; -4, \: -3, \: -2, \: -1,\: 0 \right \}

    • subconjunto de números positivos

    \mathbb{Z}^{-} - \left \{ \: +1,\; + 2, \: +3, \: +4, \: +5, ... \right \}

    • subconjunto de números não negativos

    \mathbb{Z}_{0}^{+} - \left \{ \: 0, \: +1,\; + 2, \: +3, \: +4, \: +5, ... \right \}

    nota: ao indicar um número positivo omitimos o sinal “+” para simplificar.

     

    Ordenação de número inteiros

    • Um número a é maior que um número b se o ponto associado a a pertence à semirreta de sentido positivo associada ao ponto que representa b.
    • O número 0 é maior que qualquer número negativo e é menor que qualquer número positivo.

    exemplo:

    • qual é maior -7 ou -2?
    • como os dois números pertencem à mesma semirreta de sentido positivo, então: -2 > -7 ou -7 < -2

     

    Adição de números inteiros

     

    • A soma de dois números com o mesmo sinal é igual ao número com o mesmo sinal e valor absoluto igual à soma dos valores absolutos das parcelas

    Exemplo:

    • 2 + 4 = 6
    • (-2) + (-4) = -2 – 4 = -6
    • A soma de dois números de sinais contrários não simétricos é igual ao número de sinal igual ao da parcela com maior valor absoluto e de valor igual à diferença entre o maior e o menor dos valores absolutos das parcelas.

    Exemplo:

    • 2 + (-4) = 2 – 4 = -2
    • 12 + (-3) = 12 – 3 = 9
    • A soma de dois números simétricos é zero

    Exemplo:

    • -3 + 3 = 0
    • 4 + (-4) = 4 – 4 = 0

     

    Propriedades da adição:

    Propriedade comutativa da adição

    • Alterar a soma das parcelas não altera a soma.

    Por exemplo,

    • Nota que ambas as somas são apesar de a ordem ter sido trocada.

    Propriedade associativa da adição

    • Alterar o agrupamento das parcelas não altera a soma.

    Por exemplo,

    • Recorda que os parênteses nos indicam o que devemos fazer primeiro.

    O lado esquerdo é calculado assim:

    E o lado direito é calculado assim:
    Nota que a soma de ambos os lados é apesar de termos somado o e o primeiro no lado esquerdo, e o e o primeiro no lado direito.
     
     

    Existência de elemento neutro

    • A propriedade do elemento neutro da adição refere que a soma de e qualquer número é esse número.
    Aqui está um exemplo:
    Isto é verdade porque a definição de é “nenhuma quantidade”, portanto, quando somamos a 5, a quantidade de 5 não se altera!
     
    • A propriedade comutativa da adição garante que não importa se o surge antes ou depois do número.
     
    Aqui está um exemplo da propriedade do elemento neutro da adição com o depois do número:
     

    Existência de elemento simétrico

    • A soma de dois números simétricos é nula.

    Por exemplo,

     

    Subtração de números inteiros

     

    • A subtração é a operação inversa da adição.

    Exemplo:

    • dado o número 8, 0 – 8 = -8
    • – (-8) = 8
    • 0 – (-8) = 0 + 8 = 8
    • 0 + (+8) = 0 + 8 = 8

     

    Adição algébrica

     

    • A adição e a subtração de números designa-se adição algébrica
    • dado um número b, tem-se:

    + (+b) = + b = b

    + (-b) = -b

    – (+b) = – b

    – (-b) = + b = b

    Exemplo:

    – (-4)  + (-3) – (-5) – (+9) – (-4) + (+3) =

    = 4 + (-3) + (+5) + (-9) + (+4) + 3

    = 1 + (+5) + (-9) + (+4) + 3

    = 1 + (-4) + (+4) + 3

    = 1 + (-4) + 7

    = (-3) + 7

    = + 4

     

    • Simplificação da escrita da soma algébrica

    ⇒ Se o parênteses está precedido do sinal “+”, elimina-se este sinal e os parênteses, mantendo o sinal que está dentro deles.

    Exemplo:  5 + (-4) = 5 – 4 = 1

    ⇒ Se o parênteses está precedido do sinal “-“, elimina-se este sinal e os parênteses, trocando o sinal que está dentro deles.

    Exemplo: 5 – (+4) = 5 – 4 = 1

    ⇒ simétrico da soma e da diferença

    Exemplo:

    • – (2 + 3) = – 2 + (-3) = -2 -3 = -5
    • – (2 – 3) = – 2 + 3 = 1

     

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